最新数学中考真题库（应用解答题一）

1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；

（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

2．2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：

部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表

时间/h

1.5

2

2.5

3

3.5

4

人数/人

2

6

6

10

m

4

（1）本次共调查的学生人数为，在表格中，m＝；

（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是，众数是；

（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．

3．如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

4．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y图象的交点坐标；

（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y的图象没有公共点．

5．“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．

（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；

（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．

6．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7）

（1）求屋顶到横梁的距离AG；

（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．

7．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；

（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？

8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．

9．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）

时间x（分钟）

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9～15

人数y（人）

0

170

320

450

560

650

720

770

800

810

810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

10．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．

（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；

（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．

11．（1）计算（﹣2）2﹣||﹣2cos45°+（2020﹣π）0；

（2）先化简，再求值：（），其中a1．

12．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．

根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是；

A．矩形

B．正五边形

C．菱形

D．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．

其中真命题的个数有个；

A．0

B．1

C．2

D．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

13．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是名；

（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为；

（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

14．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

15．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

16．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

参考答案

1．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．

（2）如图②中，△ABC即为所求．

（3）△ABC即为所求．

2．【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为：6÷12%＝50（人），

m＝50×44%＝22，

故答案为：50，22；

（2）由条形统计图得，2个1.5，6个2，6个2.5，10个3，22个3.5，4个4，

∵第25个数和第26个数都是3.5h，

∴中位数是3.5h；

∵3.5h出现了22次，出现的次数最多，

∴众数是3.5h，

故答案为：3.5h，3.5h；

（3）就疫情期间如何学习的问题，我的看法是：认真听课，独立思考（答案不唯一）．

3．【解答】（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BE+EC＝EC+EF，即BC＝EF，

∴AD＝EF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：连接DE，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

在Rt△ABE中，AE2，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EAD，

∵∠B＝∠AED＝90°，

∴△ABE∽△DEA，

∴AE：AD＝BE：AE，

∴AD10，

∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝2×10＝20．

4．【解答】解：（1）将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（2，3），

将（2，3）代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，

故反比例函数表达式为：y①；

（2）一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，

联立①②并解得：，

故交点坐标为（﹣2，﹣3）或（3，2）；

（3）设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，

联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，

∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k，

故可以取k＝﹣2（答案不唯一），

故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．

5．【解答】解：（1）把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别即为A、B、C，

画树状图如图：

共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个，

∴恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为；

（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，

由题意得：，

解得：x＝4，

经检验，x＝4是原方程的解；

答：应添加4张《消防知识手册》卡片．

6．【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，

∴AG⊥EF，EG∠AEG＝∠ACB＝35°，

在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，

∵tan∠AEG＝tan35°，EG＝6，

∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；

答：屋顶到横梁的距离AG为4.2米；

（2）过E作EH⊥CB于H，

设EH＝x，

在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，

∵tan∠EDH，

∴DH，

在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，

∵tan∠ECH，

∴CH，

∵CH﹣DH＝CD＝8，

∴8，

解得：x≈9.52，

∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），

答：房屋的高AB为14米．

7．【解答】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100﹣x）支，根据题意，得：

6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，

解得x＝19.5，

因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；

（2）设笔记本的单价为a元，根据题意，得：

6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，

整理，得：x，

因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，

∵x取整数，

∴x＝20，21．

当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；

当x＝21时，a＝4×21﹣78＝6，

所以笔记本的单价可能是2元或6元．

8．【解答】解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，

又∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ACD＝∠CAD，

∴AD＝CD；

（2）∵AF是⊙O的切线，

∴∠FAB＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，

∴∠ABD＝∠FAD，

∵∠ABD＝∠CAD，

∴∠FAD＝∠EAD，

∵AD＝AD，

∴△ADF≌△ADE（ASA），

∴AF＝AE，DF＝DE，

∵AB＝4，BF＝5，

∴AF，

∴AE＝AF＝3，

∵，

∴，

∴DE，

∴BE＝BF﹣2DE，

∵∠AED＝∠BED，∠ADE＝∠BCE＝90°，

∴△BEC∽△AED，

∴，

∴，

∴，

∵∠BDC＝∠BAC，

∴．

9．【解答】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，

①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，

∵当x＝0时，y＝0，

∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，

由题意可得：，

解得：，

∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，

②当9＜x≤15时，y＝180，

∴y与x之间的函数关系式为：y；

（2）设第x分钟时的排队人数为w人，

由题意可得：w＝y﹣40x，

①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，

∴当x＝7时，w的最大值＝490，

②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，

∴210≤w＜450，

∴排队人数最多时是490人，

要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，

解得：x＝20.25，

答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；

（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，

解得m，

∵m是整数，

∴m的最小整数是2，

∴一开始就应该至少增加2个检测点．

10．【解答】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，

∴BO⊥AC，BO＝CO，

∵P为BC的中点，Q为BO的中点，

∴PQ∥OC，PQOC，

∴PQ⊥BO，PQBO；

故答案为：PQBO，PQ⊥BO．

（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：

连接O'P并延长交BC于点F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，

∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，

∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，

又∵点P是CE的中点，

∴CP＝EP，

∴△O'PE≌△FPC（AAS），

∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，

∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，

∴BO'＝BF，

∴△O'BF为等腰直角三角形．

∴BP⊥O'F，O'P＝BP，

∴△BPO'也为等腰直角三角形．

又∵点Q为O'B的中点，

∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，

∴△PQB的形状是等腰直角三角形；

（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．

∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

∴∠ECG＝45°，

由旋转得，四边形O'ABG是矩形，

∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，

∴△EGC为等腰直角三角形．

∵点P是CE的中点，

∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，

∴△O'GP≌△BCP（SAS），

∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，

∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，

∴∠O'PB＝90°，

∴△O'PB为等腰直角三角形，

∵点Q是O'B的中点，

∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，

∵AB＝1，

∴O'A，

∴O'B，

∴BQ．

∴S△PQBBQ•PQ．

11．【解答】解：（1）原式＝421

＝41

＝5﹣2；

（2）原式＝[]•

•

，

当a1时，原式．

12．【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，

故选B．

（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．

故答案为（1）（3）（5）．

（3）命题中①③正确，

故选C．

（4）图形如图所示：

13．【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）；

（2）∵A级的百分比为：100%＝15%，

∴∠α＝360°×15%＝54°；

C级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）．

如图所示：

（3）500×15%＝75（人）．

故估计优秀的人数为75人；

（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，

∴选中小明的概率为．

故答案为：40；54°；75人．

14．【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得

，

解得：x＝2000．

经检验，x＝2000是原方程的根．

答：去年A型车每辆售价为2000元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得

y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），

y＝﹣300a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y＝﹣300a+36000．

∴k＝﹣300＜0，

∴y随a的增大而减小．

∴a＝20时，y有最大值

∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

15．【解答】解：（1）连接OD、DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，

∴DE垂直平分OB，

∴DB＝DO．

∵在⊙O中，DO＝OB，

∴DB＝DO＝OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠BDO＝∠DBO＝60°，

∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，

∴∠BCD＝∠BDC∠DBO．

∵∠DBO＝60°，

∴∠CDB＝30°．

∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）答：这个确定的值是．

连接OP，如图：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．

∴，

又∵∠COP＝∠POE，

∴△OEP∽△OPC，

∴．

16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x）2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，

∴C（0，6），

∴OC＝6，

∵A（6，0），

∴OA＝6，

∴OA＝OC，

∴∠OAC＝45°，

∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD+PE＝2PE，

∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，

∵A（6，0），C（0，6），

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），

∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，

当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，

∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，

∵l∥y轴，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，

∴NF∥x轴，

由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

当x时，y，

∴F（，），

∴点N的纵坐标为，

设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），

∴﹣m2+5m+6，解得，m或m，

∴点N的坐标为（，）或（，）．